Mời các bạn cùng tham khảo nội dung bài giảng Bài 4: Không gian vectơ con sau đây để tìm hiểu về không gian vecto con, không gian vecto con sinh bởi hệ vecto.
Bạn đang xem: Bài tập không gian vecto con có lời giải
Tập con\(A \ne \emptyset \) của Rn được gọi là không gian vectơ con của Rn nếu:
\(\begin{array}{l} (i)\,\,\forall x,y \in A,x + y \in A\\ (ii)\,\forall \alpha \in R,\forall x \in A,\alpha x \in A \end{array}\)
Ví dụ: Cho \(A = {\rm{\{ }}({x_1};1)/{x_1} \in R{\rm{\} }}\). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ?
Giải:
Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) \(\notin \)A
Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R2.
Ví dụ: Cho \(A = \left\{ {({x_1};{x_2}) \in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} \right\}\). A có phải là không gian vectơcon của R2 không ?
Giải:
\((i)\,Coi\,x = ({x_1};{x_2}) \in A,\,y = ({y_1};{y_2}) \in A\,\,thì\,{x_2} = 3{x_2}\,và\,{y_2} = 3{y_1}\)
Suy ra: \(x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) \in A\,\,vì\,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1})\)
\((ii)\,\,Coi\,\alpha \in R,x = ({x_1};{x_2}) \in A\,thì\,{x_2} = 3x\)
Suy ra:\(\alpha x = (\alpha {x_1};\alpha {x_2}) \in A\,vì\,\alpha {x_2} = 3(\alpha {x_1})\)
Vậy, A là một không gian vectơ con của R2.
Trong R2:
Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}Không gian vectơ con 1 chiều là đường thẳng đi qua gốc tọa độ.Không gian vectơcon 2 chiều là chính R2.Trong R3:
Không gian vectơ con 0 chiều là gốc tọa độ {O}Không gian vectơ con 1 chiều là các đường thẳng đi qua gốc tọa độ.Không gian vectơ con 2 chiều là các mặt phẳng đi qua gốc tọa độ.Không gian vectơ con 3 chiều là chính R3.Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A chứa vectơ không
Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con.
Ví dụ: A ={(x1; 1)} không phải là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không.
2. Không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ.
Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn.
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rn gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu \(\left\langle V \right\rangle \). Không gian \(\left\langle V \right\rangle \) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó.
Xem thêm: Emma Stone Phim Và Chương Trình Truyền Hình, “Kẻ Khờ Mộng Mơ” Emma Stone Được Vinh Danh
Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này.
Giải
Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)
{(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)
Vậy, không gian con sinh bởi V là\(\left\langle V \right\rangle = {\rm{\{ (}}{{\rm{x}}_1};{x_2};0)/{x_1},{x_2} \in R{\rm{\} }}\)có\(\dim \left\langle V \right\rangle = 2\)